Een veelvlak heet regelmatig als alle zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn en als in ieder punt evenveel zijvlakken samenkomen. Een regelmatige veelvlak heeft daarmee identieke vlakken, ribben en hoekpunten. De oude Grieken wisten al dat er maar vijf regelmatige veelvlakken zijn.

Stelling. Er zijn precies vijf (Platonische) regelmatige veelvlakken.

Bewijs. In ieder hoekpunt komen, zeg, $k$ regelmatige $n$-vlakken bij elkaar, met $k,n\geq 3$. We geven deze polyeder aan als $\{n,k\}$. De totale som van de hoeken in het hoekpunt is $< 2\pi$, zodat

$$k \cdot {n-2\over n}\pi < 2\pi {\ \Rightarrow\ } (k-2)(n-2) < 4.$$

We zien nu eenvoudig dat de enige oplossingen zijn

$$\{n,k\} = \{3,3\},\ \{3,4\},\ \{3,5\},\ \{4,3\},\ \{5,3\}.$$

$\Diamond$

Dit geeft de bekende vijf klassieke Platonische lichamen:

[INDEX]