5.3.9 Stelling van Euler
Er geldt een beroemde stelling van LEONHARD EULER (1707-1783) voor het aantal hoekpunten, zijden en vlakken van een polyeder.

Stelling.Als een convexe polyeder bestaat uit $ V$ hoekpunten (vertices), $ E$ ribben (edges) en $ F$ zijvlakken (faces) dan geldt $ V-E+F=2$.

Bewijs. Dit volgt eenvoudig met ons bewijs van de Euler-karakteristiek voor een planaire graaf. Immers we kunnen één zijvlak van de polyeder verwijderen en deze vervolgens openvouwen op het vlak.

Er zijn vele verschillende bewijzen van dit klassieke resultaat. We schetsen ook een mooi intuïtief bewijs van BILL THURSTON (Fieldsmedaille 1986). We zetten elektrische ladingen op de polyeder: lading $ +1$ in iedere vertex, lading $ -1$ op het midden van iedere zijde en lading $ +1$ op het midden van ieder zijvlak. We moeten nu aantonen dat de totale lading $ +2$ is. Zet het veelvlak nu zo neer dat er een uniek hoogste punt $ P$ is en een laagste punt $ Q$ en dat geen twee hoekpunten op dezelfde hoogte zijn. Uiteindelijk zullen alle ladingen tot nul optellen behalve de twee positieve ladingen in $ P$ en $ Q$!

We gaan nu de ladingen op de vertices en zijden naar de ladingen op de zijvlakken sturen en wel volgens de volgende regel: iedere lading beweegt naar het vlak dat ``rechts'' ligt, zie onderstaand figuur

$\displaystyle \leavevmode \vcenter{\hbox{\includegraphics*[width=5cm]{charges}}}
$

(Probeer dit zelf precies te formuleren.) Eén ding weten we altijd. De extra lading die op deze wijze op een vlak terecht komt is afkomstig van een open interval, omdat de eindpunten nooit meegaan. Zo'n interval heeft altijd totale lading $ -1$ en geeft met de $ +1$ lading van het vlak totale lading nul. De enige twee ladingen die op hun plaats blijven zijn de ladingen in de top en bodem, in totaal dus $ +2$. $ \Diamond$

$ \leavevmode \vcenter{\hbox{\includegraphics*[width=0.4cm]{question}}}$ Teken een paar convexe polyeders en verifieer Eulers stelling.

Voor de vijf regelmatige veelvlakken geldt

$\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.5}\begin{tabular}{\vert c\vert c\...
...l eder & 12 & 30 & 12\\
\hline
\end{tabular}\renewedcommand{arraystretch}{1.0}$

en we controleren daarmee eenvoudig de stelling van Euler.


[INDEX]