Algebraische topologie is dat deel van de wiskunde waarin met algebraische hulpmiddelen die eigenschappen van meetkundige figuren en de afbeeldingen daartussen bestudeerd worden voorzover die eigenschappen onveranderd blijven bij continue verandering. De algebraische topologie stamt uit het begin van de twintigste eeuw; onze land- en stad-genoot L.E.J. Brouwer heeft een belangrijke rol gespeeld in de eerste ontwikkeling. Na de tweede wereldoorlog heeft het vak een grote vlucht genomen en wordt het in zeer veel gebieden van de wiskunde toegepast; of veeleer: is daar een onmisbaar hulpmiddel.

De fundamentaalgroep van een topologische ruimte is het eerste voorbeeld van het gereedschap dat de algebraische topologie levert. Dit begrip wordt veralgemeend in de (co-)homologiegroepen en de homotopiegroepen die men aan een topologische ruimte kan toevoegen. Deze groepen meten in zekere zin n-dimensionale gaten in de ruimte. Uit deze groepen kan men eigenschappen van de oorspronkelijke topologische ruimte afleiden.

Een goed voorbeeld van de eerste toepassingen van de algebraische topologie vormt de Fixpuntstelling van Brouwer: een continue afbeelding van de volle n-dimensionale bal B naar zichzelf heeft een fixpunt (punt met f(x)=x). Een afgeleide variant: een continu vectorveld op de 2-bol heeft een singulier punt. (In meer dagelijkse woorden: bij het harenkammen ontstaat altijd een kruin.) Algebraische topologie vindt toepassingen in de algebra, analyse, algebraische meetkunde, mathematische fysica, kortom vrijwel overal in de wiskunde.

Het college beoogt een inleiding in dit vakgebied te zijn. Een boek dat we zullen gebruiken is: